حاصل هر یک از نسبت‌های مثلثاتی زیر را مطابق نمونه به دست آورید.
$$\tan\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \tan\left(\pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = -\sqrt{3}$$
$$\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos(\dots) = \dots$$
$$\sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - \dots) = \dots = \dots$$
$$\cot(-120^{\circ}) = -\cot(\dots) = -\cot(180^{\circ} - \dots) = \dots$$
$$\cos(135^{\circ}) = \dots = \dots = \dots$$
از روابط زوایای مکمل ($\pi - \alpha$) و زوایای متقابل به مبدأ ($\pi + \alpha$) استفاده می‌کنیم.
## ۱. $\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right)$
زاویهٔ $\frac{3\pi}{4}$ در ربع دوم است ($i - \frac{\pi}{4}$)، پس کسینوس منفی است.
$$\cos\left(\frac{3\pi}{4}\right) = \cos\left(\mathbf{\pi - \frac{\pi}{4}}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \mathbf{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
## ۲. $\sin 120^{\circ}$
زاویهٔ $120^{\circ}$ در ربع دوم است ($180^{\circ} - 60^{\circ}$)، پس سینوس مثبت است.
$$\sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - \mathbf{60^{\circ}}) = \sin(60^{\circ}) = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$
## ۳. $\cot(-120^{\circ})$
* $\cot(-\alpha) = -\cot \alpha$.
* $-120^{\circ}$ در ربع سوم است، پس کتانژانت باید مثبت باشد.
$$\cot(-120^{\circ}) = -\cot(\mathbf{120^{\circ}}) = -\cot(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -(-\cot 60^{\circ}) = \cot 60^{\circ} = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{3}}$$
*(توجه: قسمت‌های پر شده در سوال برای کتانژانت منفی داده شده بود، اما چون $-120^{\circ}$ در ربع سوم است، حاصل مثبت می‌شود: $\cot(-120^{\circ}) = \cot(240^{\circ}) = \cot(180^{\circ} + 60^{\circ}) = \cot 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}$)*
$$\cot(-120^{\circ}) = -\cot(\mathbf{120^{\circ}}) = -\cot(180^{\circ} - \mathbf{60^{\circ}}) = -(-\cot 60^{\circ}) = \mathbf{\frac{\sqrt{3}}{3}}$$
## ۴. $\cos(135^{\circ})$
زاویهٔ $135^{\circ}$ در ربع دوم است ($180^{\circ} - 45^{\circ}$)، پس کسینوس منفی است.
$$\cos(135^{\circ}) = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} = \mathbf{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$$
